ALJABAR LINIER

30 12 2010

 

APROKSIMASI TERBAIK

Aproksimasi berarti mendekatkan atau meminimalkan jarak antar vektor.

Misalkan P adalah titik pada ruang berdimensi 3, dan W adalah sebuah bidang. Untuk memperoleh titik terdekat dari W ke P (titik Q), maka P diproyeksikan tegak lurus terhadap W.

Sehingga u adalah jarak antara P dan W, diperoleh dari

Jadi di antara semua vektor w pada W, vektor w = projw u meminimalkan jarak

Cara lain adalah dengan memandang u sebagai vektor tetap, yang akan kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w seperti ini akan menghasilkan

u – w 0, kecuali u terletak di W

Namun dengan memilih

w = projw u

Maka dapat kita jadikan

Sekecil mungkin

Sehingga dapat kita dikatakan projw u sebagai “aproksimasi terbaik” bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W.

Teorema Aproksimasi Terbaik

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka projw u adalah aproksimasi terbaik (best approximation) bagi u pada W, dalam pengertian bahwa

||u – projw u|| < ||u – w||

untuk setiap vektor w pada W yang bukan projw u.

 

 

SOLUSI KUADRAT TERKECIL DARI SISTEM LINIER

Aproksimasi terhadap x pada sistem linier yang tidak konsisten akan menghasilkan vektor kesalahan yang kita umpamakan sebagai e=Ax-b,

Jika e=(e1,e2,…, em ), maka sebuah solusi kuadrat terkecil akan meminimalkan vektor kesalahan ini e=(e12+e22 ++ em2
)1/2, dan oleh karenanya juga meminimalkan e=e12+e22 ++ em2
sehingga itulah yang di maksud dengan kuadrat terkecil,sehingga vektor kesalahan dapat di minimalkan.

Sistem linier Ax=b merupakan sistem persamaan linier yang konsisten, namun bisa saja tidak menjadi demikian karena adanya kesalahan-kesalahan pengukuran dalam memasukkan nilai A dan b yang mengubah sistem sehingga terjadi ketidakkonsistenan. Dalam situasi semacam ini kita akan berupaya untuk mencari nilai x yang “sedekat mungkin” dengan solusi yang diharapkan, dalam pengertian bahwa solusi ini dapat meminimalkan nilai ||Ax – b|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean. ||Ax – b|| di pandang sebagai nilai kesalahan di karenakan memandang x sebagai solusi aproksimasi dari system linier ||Ax – b||. Jika sistem tersebut konsisten, maka tidaklah sulit bagi kita untuk menyatakan bahwa x adalah solusi eksak bagi sistem linier tersebut sehinnga kesalahannya pun adalah nol. Artinya tidak ada kesalahan dalam mengaproksimasikan x sebagai solusi.

Berdasarkan Teorema Aproksimasi Terbaik, agar vektor x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, maka

Ax = projw b

Kita dapat menemukan solusi kuadrat terkecil dari Ax = b dengan menghitung projw b. Cara lainnya dengan menggunakan Teorema Proyeksi pada bab sebelumnya, maka

b – Ax = b – projw b

Ortogonal terhadap W.

Karena W adalah ruang kolom dari A, maka b – Ax terletak pada ruang nol dari matriks AT. Untuk itu solusi kuadrat terkecil dari Ax – b harus memnuhi

AT (b – Ax) = 0

ATAx = ATb

Contoh soal :

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem linear Ax = b yang diberikan oleh

Dan tentukan proyeksi ortogonal bpada ruang kolom dari A

Penyelesaian :

A memiliki vektor – vektor kolom yang bebas linear, sehingga dapat mengetahui terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini. Kita memperoleh

Sehingga sistem normal ATAx = ATb dalam kasus ini

Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan memperoleh solusi kuadrat terkecil

Proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah


Aksi

Information

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s




%d blogger menyukai ini: